L’histoire des mathématiques est riche et en constante évolution. Elle montre comment des concepts, des notations et des méthodes ont évolué au fil du temps, conduisant à une compréhension toujours plus profonde et à des outils toujours plus puissants pour explorer le monde qui nous entoure.
La notion de nombre, bien que familière aujourd’hui, a subi une évolution substantielle. Les Grecs, par exemple, ont été perturbés par la découverte des nombres irrationnels (5e S. av. J.-C.). Ils ont découvert que la racine carrée de 2 ne pouvait être exprimée comme le rapport de deux entiers, une réalisation qui a provoqué une véritable crise intellectuelle.
Par ailleurs, il existe une différence entre les nombres réels et les nombres de la calculatrice. Les calculatrices utilisent des approximations numériques, ce qui peut conduire à des erreurs d’arrondi. Ainsi, \( \pi \) est souvent représenté comme 3,1416, une approximation du véritable nombre.
Le calcul littéral, qui utilise des lettres pour représenter des nombres, a permis un gain en généralité et en efficacité. Des mathématiciens tels que Diophante (3e S. av. J.-C.), Euclide (3e S. av. J.-C.), et Al-Khwarizmi (9e S.) ont jeté les bases des méthodes algorithmiques que nous utilisons aujourd’hui.
Les Grecs ont accordé une place centrale à la géométrie dans leur approche des mathématiques. Euclide (3e S. av. J.-C.), par exemple, a formalisé l’idée de preuve en géométrie dans ses « Éléments ».
La méthode des coordonnées de Descartes (17e S.) a marqué un tournant significatif. Il a introduit l’idée de représenter des points dans l’espace par des paires de nombres (x, y), transformant des problèmes géométriques en équations algébriques, et facilitant ainsi leur résolution.
La notion de fonction a connu une élaboration très lente. Newton et Leibniz (17e S.) ont développé le calcul infinitésimal, introduisant des notions de limite, dérivée et intégrale qui sont essentielles pour comprendre les fonctions et leur comportement. Ces idées ont été progressivement affinées et codifiées par des mathématiciens tels que Euler (18e S.) et Dirichlet (19e S.).
L’histoire des probabilités est riche d’exemples illustrant la mathématisation du hasard. Le problème des partis, posé par le chevalier de Méré (17e S.), interrogeait la probabilité d’obtenir au moins un « double six » en lançant deux dés 24 fois, comparativement à celle d’obtenir au moins un « six » en lançant un dé 4 fois. Cela a conduit à un échange de lettres entre Pascal et Fermat, jetant les bases de la théorie des probabilités.
Le problème du Duc de Toscane (17e S.), posé à Galilée, concernait les distributions des sommes obtenues en lançant trois dés. Le Duc a observé que certaines sommes, comme 9 et 10, semblaient apparaître avec la même fréquence, bien que le nombre de combinaisons pour les obtenir soit différent. Cela a poussé Galilée à élaborer une explication basée sur le concept de distribution combinatoire.
Les textes anciens montrent une préoccupation constante pour les méthodes algorithmiques. Par exemple, Al-Khwarizmi (9e S.) a écrit un livre expliquant comment résoudre des équations linéaires et quadratiques en utilisant des méthodes systématiques. Ces méthodes peuvent être interprétées comme des algorithmes et être programmées sur des ordinateurs modernes.