La théorie des ensembles et la logique sont les fondations sur lesquelles reposent de nombreux domaines des mathématiques. Maîtriser ces concepts et savoir les utiliser correctement est essentiel pour progresser en mathématiques.
Un ensemble est une collection d’objets, considérés comme un tout. Chaque objet est appelé un « élément » de l’ensemble.
– Élément d’un ensemble : Si x est un élément de l’ensemble E , on note x \in E .
– Exemple : Soit E = \{1, 2, 3, 4, 5\} . Comme 3 est dans la liste, 3 \in E .
– Sous-ensemble : Si tous les éléments de A sont aussi des éléments de E , alors A est un sous-ensemble de E . On note A \subset E .
– Exemple : A = \{2, 3\} est un sous-ensemble de E car A \subset E .
– Réunion : L’ensemble des éléments qui sont dans A ou dans B (ou dans les deux) est noté A \cup B .
– Exemple : Si A = \{1, 2, 3\} et B = \{3, 4, 5\} , alors A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} .
– Intersection : L’ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et dans B est noté A \cap B .
– Exemple : Pour A et B ci-dessus, A \cap B = \{3\} .
– Complémentaire : L’ensemble des éléments qui sont dans E mais pas dans A est noté \bar{A} ou E \setminus A .
– Couple : C’est une paire ordonnée d’éléments. Si a et b sont deux éléments, le couple (a,b) est l’entité où a est le premier élément et b le second.
Une proposition mathématique est une affirmation qui peut être vraie ou fausse, mais pas les deux en même temps.
a. Variables : Les propositions peuvent contenir des variables pour représenter des éléments non spécifiés. Ex : « Pour tout nombre x, x+1 est plus grand que x. »
b. Connecteurs logiques :
– ET : Une proposition « P ET Q » est vraie seulement si P et Q sont toutes deux vraies.
– Exemple : « Il pleut ET j’ai un parapluie » est vraie seulement si les deux conditions sont remplies.
– OU : Une proposition « P OU Q » est vraie si l’une ou l’autre (ou les deux) des propositions P et Q est vraie.
– Exemple : « Il pleut OU j’ai un parapluie » est vraie si au moins l’une des conditions est remplie.
c. Négation : La négation de la proposition P est « NON P ». Si P est vraie, alors « NON P » est fausse et vice versa.
– Exemple : La négation de « x est pair » est « x est impair ».
Pour la proposition « Tous les oiseaux peuvent voler », un contre-exemple est l’Autruche, qui est un oiseau mais qui ne peut pas voler.
– Implication : Une proposition « Si P alors Q » (notée P ⇒ Q) est vraie si P est fausse ou si P et Q sont toutes deux vraies. Elle est donc fausse uniquement si P est vraie et Q est fausse.
– Exemple : « Si je suis en retard (P), alors je cours (Q) ».
– Équivalence : La proposition « P si et seulement si Q » (notée P ⇐⇒ Q) signifie que P implique Q et que Q implique P. Autrement dit, P ⇐⇒ Q est vraie si P ⇒ Q et Q ⇒ P sont toutes deux vraies, c’est-à-dire si P et Q ont la même valeur de vérité.
– Exemple : « Je porte un parapluie si et seulement si il pleut. ».
– Réciproque : Si l’implication est « Si P alors Q » (notée P ⇒ Q), alors sa réciproque est « Si Q alors P » (notée Q ⇒ P).
– Exemple : La réciproque de la première implication est « Si je cours (P), alors je suis en retard (Q) ».
Attention : l’implication et sa réciproque peuvent avoir des vérités différentes.
a. Par disjonction des cas : Cela consiste à examiner chaque cas possible et à montrer qu’une proposition est vraie pour chacun d’eux.
– Exemple : La somme de deux entiers consécutifs est toujours un nombre impair.
Preuve :
Prenons deux entiers consécutifs, que nous appellerons n et n+1. Nous ne savons pas si n est pair ou impair, donc nous considérons les deux cas :
Cas 1 : n est pair.
Si n est pair, alors il peut être écrit sous la forme 2k, où k est un entier. La somme des deux entiers consécutifs est donc 2k + (2k + 1) = 4k + 1, qui est un nombre impair.
Cas 2 : n est impair.
Si n est impair, alors il peut être écrit sous la forme 2k + 1, où k est un entier. La somme des deux entiers consécutifs est donc (2k + 1) + (2k + 2) = 4k + 3, qui est également un nombre impair.
Dans les deux cas, la somme de n et n+1 est un nombre impair. Ainsi, nous pouvons conclure que la somme de deux entiers consécutifs est toujours un nombre impair.
b. Par l’absurde : Pour prouver une proposition P, on suppose que P est fausse et on montre que cela conduit à une contradiction.
– Exemple : Prouver qu’il n’y a pas de plus grand entier
Supposons par l’absurde qu’il existe un plus grand entier, que nous appelons N. Si N est le plus grand entier, cela signifie qu’il n’y a pas d’entier plus grand que N.
Cependant, considérons le nombre N + 1. Ce nombre est aussi un entier, car la somme de deux entiers est toujours un entier. De plus, N + 1 est clairement plus grand que N, ce qui contredit notre supposition initiale selon laquelle N est le plus grand entier.
Ainsi, notre supposition de départ doit être fausse, et nous concluons qu’il n’existe pas de plus grand entier.
Même si les symboles ∀ (pour tout) et ∃ (il existe) sont hors programme, il est essentiel de comprendre que :
– Une proposition avec « pour tout » est vraie si elle est vraie pour chaque élément de l’ensemble.
– Une proposition avec « il existe » est vraie si elle est vraie pour au moins un élément de l’ensemble.