La modélisation du hasard à l’aide de la théorie des probabilités nous permet de quantifier l’incertitude et de faire des prédictions sur les résultats d’expériences aléatoires. En maîtrisant le dénombrement et les propriétés des événements, on peut calculer des probabilités dans de nombreux contextes différents.
Pour modéliser le hasard, nous commençons par définir l’ensemble des issues \Omega , qui est l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire. Par exemple, lorsqu’on lance un dé, \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} .
Un événement est un sous-ensemble de \Omega . Par exemple, l’événement « Obtenir un nombre pair » lorsqu’on lance un dé peut être représenté par l’ensemble A = \{2, 4, 6\} .
– Réunion : La réunion de deux événements A
et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A
ou à B (ou les deux). On le note A \cup B .
– Intersection : L’intersection de A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B . On le note A \cap B .
– Complémentaire : Le complémentaire d’un événement A
est l’ensemble des éléments de \Omega qui ne sont pas dans
A . On le note A^c .
La loi de probabilité attribue à chaque issue de \Omega une probabilité. La probabilité d’une issue est un nombre entre 0 et 1, et la somme des probabilités de toutes les issues doit être égale à 1.
La probabilité d’un événement A est donnée par la somme des probabilités des issues qui constituent A :
P(A) = \sum_{\omega \in A} P(\{\omega\})
Exemple : Lancer d’un dé
Considérons un dé équilibré à six faces avec \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} . Soit A = \{2, 4, 6\} l’événement « Obtenir un nombre pair ».
Chaque face a une probabilité de \frac{1}{6} . La probabilité de A est donc :
P(A) = P(\{2\}) + P(\{4\}) + P(\{6\}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} .
La relation suivante lie les probabilités des événements A , B , A \cup B (la réunion de A et B ) et A \cap B (l’intersection de A et B ):
P(A \cup B) + P(A \cap B) = P(A) + P(B)
Cette relation est importante car elle permet de calculer la probabilité de la réunion ou de l’intersection de deux événements à partir des probabilités des événements individuels.
Le dénombrement des issues possibles peut être facilité à l’aide de tableaux ou d’arbres de probabilité.
– Tableaux : On peut utiliser un tableau pour
organiser les données et dénombrer facilement les résultats possibles.
– Arbres de probabilité : Les arbres de probabilité représentent graphiquement toutes les issues possibles d’une expérience. Chaque branche de l’arbre représente une issue possible et est étiquetée avec la probabilité de cette issue.
Exemple :
Considérons le lancer de deux pièces de monnaie. L’ensemble des issues est \Omega = \{ (P, P), (P, F), (F, P), (F, F) \} où P représente pile et F face.
a. Tableau de dénombrement :
Chaque cellule du tableau représente une issue possible.
\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Pièce 1: Pile (P)} & \text{Pièce 1: Face (F)} \\ \hline \text{Pièce 2: Pile (P)} & (P, P) & (F, P) \\ \hline \text{Pièce 2: Face (F)} & (P, F) & (F, F) \\ \hline \end{array}
Ce tableau montre toutes les issues possibles du lancer de deux pièces de monnaie.
Dans cet exemple, l’ensemble des issues est \Omega = \{ (P, P), (P, F), (F, P), (F, F) \} . Chaque issue est équiprobable, donc chaque cellule a une probabilité de \frac{1}{4} .
b. Arbre de probabilité :
Un arbre de probabilité commence par un nœud racine et se ramifie pour chaque étape de l’expérience.
┌───(1/2)───> P
│ ┌───(1/2)───> P : (P, P)
(début) └───(1/2)───> F : (P, F)
│
└───(1/2)───> F
┌───(1/2)───> P : (F, P)
└───(1/2)───> F : (F, F)
Dans cet arbre, chaque branche est étiquetée avec la probabilité de cette issue. Par exemple, le chemin « P → P » correspond à l’issue « (P, P) » et a une probabilité de \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} . Les autres issues sont calculées de manière similaire.
c. Analyse des représentations
Ces deux représentations facilitent le calcul des probabilités d’événements. Par exemple, la probabilité d’obtenir au moins un « Pile » (événement A = \{ (P, P), (P, F), (F, P) \} ) peut être trouvée en additionnant les probabilités des issues correspondantes:
P(A) = P((P, P)) + P((P, F)) + P((F, P)) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
Dé : Un dé équilibré est un exemple classique. Pour un dé à 6 faces, chaque face a une chance égale d’apparaître, soit \frac{1}{6} . Ainsi, la probabilité de chaque événement simple (comme obtenir un « 3 ») est définie a priori comme \frac{1}{6} .
Pièce équilibrée : De même, lorsqu’on lance une pièce équilibrée, les deux issues possibles (Pile et Face) sont équiprobables, avec une probabilité de \frac{1}{2} chacune.
Tirage au sort : Supposons qu’on tire une carte au hasard d’un jeu de 52 cartes. Chaque carte a une probabilité a priori égale de \frac{1}{52} d’être tirée.
Dans ces cas, les probabilités sont définies avant toute expérience en supposant que chaque issue est également probable.
Parfois, les probabilités ne sont pas connues a priori et doivent être estimées à partir de données observées.
Exemple : Supposons qu’on souhaite connaître la probabilité qu’il pleuve un jour donné. On peut collecter des données sur le nombre de jours de pluie sur une période donnée (disons, 100 jours) et construire un modèle probabiliste.
Si, sur ces 100 jours, il a plu 20 jours, la fréquence observée de jours de pluie est \frac{20}{100} = 0.2 . On peut utiliser cette fréquence comme estimation de la probabilité qu’il pleuve un jour au hasard.
Attention : Il faut comprendre que cette probabilité est une estimation basée sur des observations passées et qu’elle ne prédit pas parfaitement la réalité.
Expérience aléatoire à deux épreuves :
Exemple : Considérons le lancer de deux pièces équilibrées. On peut construire un espace des échantillons \Omega = \{(P,P), (P,F), (F,P), (F,F)\} , où P est Pile et F est Face.
Pour calculer la probabilité de l’événement « Au moins une pièce montre Face », on compte le nombre d’issues favorables (3: (P,F), (F,P), (F,F) ) et on divise par le nombre total d’issues (4). Ainsi, P(\text{"Au moins un F"}) = \frac{3}{4} .
Expérience aléatoire à trois épreuves :
Exemple : Supposons le lancer de trois dés équilibrés. On souhaite trouver la probabilité que la somme des numéros obtenus soit 7.
Pour ce faire, on liste toutes les triplets possibles qui somment à 7, par exemple (1,2,4), (2,2,3) , etc. On compte le nombre d’issues favorables et on divise par le nombre total d’issues (6 \times 6 \times 6 = 216) pour trouver la probabilité recherchée.