La maîtrise de ces concepts permet de manipuler et de comprendre les vecteurs dans le plan, facilitant l’analyse et la résolution de problèmes géométriques.
Le vecteur \vec{MM'} est l’entité géométrique qui
correspond à la translation qui transforme le point M en M’. Ce vecteur possède
trois caractéristiques :
– Direction : La droite qui passe par les points M et M’ indique la direction du vecteur.
– Sens : Le sens du vecteur va de M à M’.
– Norme : La norme du vecteur, notée \lVert \vec{MM'} \rVert , est la distance entre les points M et M’.
Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont égaux si et seulement s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme. On écrit alors \vec{u} = \vec{v} .
Le vecteur nul, noté \vec{0} , est un vecteur dont la norme est égale à zéro. Il n’a ni direction ni sens particulier.
La somme de deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} est le vecteur \vec{w} obtenu en enchaînant les translations correspondant à \vec{u} et \vec{v} . On note \vec{w} = \vec{u} + \vec{v} .
La relation de Chasles établit que pour trois points A, B, et C dans le plan, \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} .
Une base orthonormée du plan est un couple de vecteurs (\vec{i}, \vec{j}) qui sont perpendiculaires et de norme 1. Les coordonnées d’un vecteur \vec{u} sont les nombres réels (x, y) tels que \vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} .
La norme du vecteur \vec{u} est donnée par \lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{x^2 + y^2} .
Les coordonnées du vecteur \vec{AB} , avec A de coordonnées (x_1, y_1) et B de coordonnées (x_2, y_2) , sont données par (x_2 – x_1, y_2 – y_1) .
Le produit d’un vecteur \vec{u} de coordonnées (x, y) par un nombre réel \lambda donne un nouveau vecteur \vec{v} = \lambda \vec{u} de coordonnées (\lambda x, \lambda y) .
Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont dits colinéaires s’il existe un réel \lambda tel que \vec{v} = \lambda \vec{u} .
Le déterminant de deux vecteurs \vec{u} = (x_1, y_1) et \vec{v} = (x_2, y_2) dans une base orthonormée est donné par \text{det}(\vec{u}, \vec{v}) = x_1 y_2 – x_2 y_1 .
Les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires si et seulement si \text{det}(\vec{u}, \vec{v}) = 0 . Ce critère est utilisé pour vérifier l’alignement (trois points sont alignés si les vecteurs qu’ils forment sont colinéaires) et le parallélisme (deux vecteurs sont parallèles s’ils sont colinéaires).
– Choisissez deux points M
et M' dans le plan.
– Tracez une flèche allant de M à M'. La flèche représente le vecteur \vec{MM'}.
– Indiquez les caractéristiques du
vecteur : direction (ligne MM'), sens (de M à M')
et norme (longueur de MM').
– Représentez les vecteurs \vec{u} et \vec{v} en les plaçant bout à bout : la queue de \vec{v} à la tête de \vec{u}.
– Tracez un nouveau vecteur \vec{w}
allant de la queue de \vec{u} à la tête de \vec{v}.
– \vec{w} est alors la
somme des vecteurs \vec{u} et \vec{v}, soit \vec{w}
= \vec{u} + \vec{v}.
– Pour représenter un vecteur \vec{u} de coordonnées (x, y), partez d’un point A, tracez x unités horizontalement et y unités verticalement, puis marquez le point B. \vec{u} est alors le vecteur \vec{AB}.
– Pour lire les coordonnées, mesurez
les distances horizontale (x) et verticale (y) depuis le point de départ du
vecteur.
– Si \vec{u} a pour coordonnées (x_1, y_1) et \vec{v} a pour coordonnées (x_2, y_2), alors les coordonnées de \vec{u} + \vec{v} sont (x_1 + x_2, y_1 + y_2).
– Pour un nombre réel \lambda,
les coordonnées de \lambda\vec{u} sont (\lambda x_1,
\lambda y_1).
– La distance entre deux points A(x_1, y_1) et B(x_2, y_2) est d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}.
– Les coordonnées du milieu M
du segment [AB] sont \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1
+ y_2}{2}\right).
– Trois points A, B, et C sont alignés si les vecteurs \vec{AB} et \vec{BC} sont colinéaires, c’est-à-dire det(\vec{AB}, \vec{BC}) = 0.
– Deux vecteurs \vec{u}
et \vec{v} sont parallèles s’ils sont colinéaires.
– Analysez le problème pour identifier les concepts clés (somme de vecteurs, colinéarité, etc.).
– Choisissez la représentation la plus
adaptée (graphique ou algébrique) pour résoudre le problème.
– Vérifiez la cohérence de votre
solution par rapport à la situation initiale.