Introduction

 

La maîtrise de ces concepts permet de manipuler et de comprendre les vecteurs dans le plan, facilitant l’analyse et la résolution de problèmes géométriques.

 

Cours

 

1. Vecteur \vec{MM'} associé à une translation

 

Le vecteur \vec{MM'} est l’entité géométrique qui correspond à la translation qui transforme le point M en M’. Ce vecteur possède trois caractéristiques :

   – Direction : La droite qui passe par les points M et M’ indique la direction du vecteur.

   – Sens : Le sens du vecteur va de M à M’.

   – Norme : La norme du vecteur, notée \lVert \vec{MM'} \rVert , est la distance entre les points M et M’.

 

2. Égalité de deux vecteurs

 

Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont égaux si et seulement s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme. On écrit alors \vec{u} = \vec{v} .

 

3. Vecteur nul

 

Le vecteur nul, noté \vec{0} , est un vecteur dont la norme est égale à zéro. Il n’a ni direction ni sens particulier.

 

4. Somme de deux vecteurs et relation de Chasles

 

La somme de deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} est le vecteur \vec{w} obtenu en enchaînant les translations correspondant à \vec{u} et \vec{v} . On note \vec{w} = \vec{u} + \vec{v} .

 

   La relation de Chasles établit que pour trois points A, B, et C dans le plan, \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} .

 

5. Base orthonormée et coordonnées d’un vecteur

 

Une base orthonormée du plan est un couple de vecteurs (\vec{i}, \vec{j}) qui sont perpendiculaires et de norme 1. Les coordonnées d’un vecteur \vec{u} sont les nombres réels (x, y) tels que \vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} .

 

La norme du vecteur \vec{u} est donnée par \lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{x^2 + y^2} .

 

6. Expression des coordonnées de \vec{AB}

 

Les coordonnées du vecteur \vec{AB} , avec A de coordonnées (x_1, y_1) et B de coordonnées (x_2, y_2) , sont données par (x_2 – x_1, y_2 – y_1) .

 

7. Produit d’un vecteur par un nombre réel et colinéarité

 

Le produit d’un vecteur \vec{u} de coordonnées (x, y) par un nombre réel \lambda donne un nouveau vecteur \vec{v} = \lambda \vec{u} de coordonnées (\lambda x, \lambda y) .

 

Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont dits colinéaires s’il existe un réel \lambda tel que \vec{v} = \lambda \vec{u} .

 

8. Déterminant et critère de colinéarité

 

Le déterminant de deux vecteurs \vec{u} = (x_1, y_1) et \vec{v} = (x_2, y_2) dans une base orthonormée est donné par \text{det}(\vec{u}, \vec{v}) = x_1 y_2 – x_2 y_1 .

 

Les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires si et seulement si \text{det}(\vec{u}, \vec{v}) = 0 . Ce critère est utilisé pour vérifier l’alignement (trois points sont alignés si les vecteurs qu’ils forment sont colinéaires) et le parallélisme (deux vecteurs sont parallèles s’ils sont colinéaires).

 

 

Méthodes

 

1. Représenter géométriquement des vecteurs

 

   – Choisissez deux points M et M' dans le plan.

   – Tracez une flèche allant de M à M'. La flèche représente le vecteur \vec{MM'}.

   – Indiquez les caractéristiques du vecteur : direction (ligne MM'), sens (de M à M') et norme (longueur de MM').

 

2. Construire géométriquement la somme de deux vecteurs

 

   – Représentez les vecteurs \vec{u} et \vec{v} en les plaçant bout à bout : la queue de \vec{v} à la tête de \vec{u}.

   – Tracez un nouveau vecteur \vec{w} allant de la queue de \vec{u} à la tête de \vec{v}.

   – \vec{w} est alors la somme des vecteurs \vec{u} et \vec{v}, soit \vec{w} = \vec{u} + \vec{v}.

 

3. Représenter et lire les coordonnées d’un vecteur

 

   – Pour représenter un vecteur \vec{u} de coordonnées (x, y), partez d’un point A, tracez x unités horizontalement et y unités verticalement, puis marquez le point B. \vec{u} est alors le vecteur \vec{AB}.

   – Pour lire les coordonnées, mesurez les distances horizontale (x) et verticale (y) depuis le point de départ du vecteur.

 

4. Calculer les coordonnées d’une somme de vecteurs et d’un produit d’un vecteur par un nombre réel

 

   – Si \vec{u} a pour coordonnées (x_1, y_1) et \vec{v} a pour coordonnées (x_2, y_2), alors les coordonnées de \vec{u} + \vec{v} sont (x_1 + x_2, y_1 + y_2).

   – Pour un nombre réel \lambda, les coordonnées de \lambda\vec{u} sont (\lambda x_1, \lambda y_1).

 

5. Calculer la distance entre deux points et les coordonnées du milieu d’un segment

 

   – La distance entre deux points A(x_1, y_1) et B(x_2, y_2) est d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}.

   – Les coordonnées du milieu M du segment [AB] sont \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right).

 

6. Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs

 

   – Trois points A, B, et C sont alignés si les vecteurs \vec{AB} et \vec{BC} sont colinéaires, c’est-à-dire det(\vec{AB}, \vec{BC}) = 0.

   – Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont parallèles s’ils sont colinéaires.

 

7. Résoudre des problèmes en utilisant la représentation la plus adaptée des vecteurs

 

   – Analysez le problème pour identifier les concepts clés (somme de vecteurs, colinéarité, etc.).

   – Choisissez la représentation la plus adaptée (graphique ou algébrique) pour résoudre le problème.

   – Vérifiez la cohérence de votre solution par rapport à la situation initiale.