La résolution de problèmes de géométrie requiert une compréhension des principes fondamentaux, mais aussi de la pratique pour reconnaître et appliquer les bonnes méthodes.
Définition : Le projeté orthogonal d’un point A sur une droite (d) est le point H de (d) tel que AH soit perpendiculaire à (d) .
Propriété : Si H est le projeté orthogonal de A sur (d) , alors AH est la plus petite distance de A à (d) .
Méthode de construction : Pour construire le projeté
orthogonal de A sur (d) :
1. Tracez une droite passant par A et
perpendiculaire à (d) .
2. Le point d’intersection de cette droite avec (d) est H , le projeté orthogonal de A .
a. Triangles :
– Utilisez le théorème de Pythagore pour les triangles
rectangles.
– Utilisez le théorème de Thalès.
– Pour les aires : A = \frac{1}{2} \times base \times hauteur
b. Quadrilatères :
– Divisez-les en triangles pour calculer des aires.
– Utilisez les propriétés des parallélogrammes, rectangles, carrés et trapèzes pour déduire des angles ou des côtés.
c. Cercles :
– Utilisez la propriété des angles inscrits :
L’angle inscrit dans un cercle est égal à la moitié de l’angle au centre
correspondant au même arc.
– Aire : A = \pi r^2
a. Longueurs :
– Utilisez le théorème de Pythagore pour les triangles rectangles.
– Pour les cercles, le diamètre est 2r et la circonférence est
2\pi r .
b. Angles :
– Pour des triangles : La somme des angles est 180°.
– Pour des quadrilatères : La somme est 360°.
c. Aires :
– Triangles : A = \frac{1}{2} \times base \times
hauteur
– Cercle : A = \pi r^2
d. Volumes :
Pour les solides courants apprenez et utilisez leurs formules respectives :
– Parallélépipède rectangle (ou pavé droit) :
V = l \times L \times h où l est la longueur, L est la largeur, et h est la hauteur.
– Cube :
V = c^3 où c est la longueur du côté du cube.
– Cylindre :
V = \pi r^2 h où r est le rayon de la base circulaire et h est la hauteur.
– Cône :
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h où r est le rayon de la base circulaire et h est la hauteur.
– Sphère :
V = \frac{4}{3} \pi r^3 où r est le rayon de la sphère.
– Pyramide :
V = \frac{1}{3} B h où B est l’aire de la base et h est la hauteur perpendiculaire à la base.
L’optimisation consiste à trouver les valeurs qui maximisent ou minimisent une certaine quantité, en utilisant des techniques algébriques et graphiques simples.
Exemple : Trouver les dimensions d’une boîte rectangulaire avec un volume maximal pour une surface extérieure donnée.
Méthode :
1. Établissez une équation pour ce que vous essayez
d’optimiser (par exemple, le volume de la boîte V = l \times L \times h)
et une équation pour les contraintes (par exemple, la surface extérieure S
= 2lh + 2Lh + 2lL).
2. Exprimez une des variables en termes des autres à partir de l’équation des contraintes (par exemple, exprimez la hauteur h en termes de la longueur l et de la largeur L).
3. Substituez cette expression dans votre équation initiale pour obtenir une
équation avec moins d’inconnues.
4. Essayez différentes valeurs ou utilisez des méthodes algébriques pour
trouver les valeurs qui maximisent ou minimisent la quantité recherchée.