Représenter les données : du bit au texte sans confondre valeur et codage

Un bit est un chiffre binaire, 0 ou 1 ; un octet est un groupe de huit bits. En base b, un chiffre a une valeur de 0 à b − 1. En hexadécimal, les lettres A, B, C, D, E et F représentent respectivement 10, 11, 12, 13, 14 et 15. La position la plus à droite a le poids 1, puis viennent b, b², b³… Les zéros à gauche ne changent pas la valeur, mais indiquent parfois une largeur imposée.

Le nombre quarante-deux ne change pas lorsque l'on écrit 42 en base 10, 101010 en base 2 ou 2A en base 16. Dans une écriture positionnelle, chaque chiffre multiplie une puissance de la base. Lire un mot de chiffres revient à répéter l'opération accumulateur = accumulateur × base + chiffre. Écrire un entier revient à extraire les restes de divisions successives, puis à les lire dans l'ordre inverse.

Deux invariants rendent les algorithmes explicables. Pendant la lecture, l'accumulateur vaut le préfixe déjà traité. Pendant l'écriture, la valeur initiale égale toujours valeur restante × base^k plus la valeur des k restes extraits. La fonction contrôle aussi le domaine : base comprise entre 2 et 16, entier naturel et chiffres autorisés. Un outil intégré peut vérifier le résultat, mais ne remplace pas le raisonnement.

Pour passer directement du binaire à l'hexadécimal, regroupe les bits par quatre à partir de la droite : quatre bits représentent 16 valeurs, de 0 à 15. Complète seulement le groupe de gauche par des zéros si nécessaire. Ainsi 1011010 devient 0101 1010, puis 5A. En Python, bin(90), hex(90) et int('5A', 16) contrôlent ces résultats ; les préfixes 0b et 0x indiquent la base, ils ne font pas partie des chiffres.

Dans les laboratoires, assert rend un contrat ou un résultat attendu vérifiable pendant l'étude. Lance les exemples avec Python 3 sans option -O : cette option désactive les assertions. Une application recevant des données externes doit effectuer une validation explicite, indépendamment de ces assertions de travail.

Avec w bits, un entier naturel peut prendre 2^w motifs, de 0 à 2^w - 1. Le nombre minimal de bits pour n strictement positif est l'unique w tel que 2^(w-1) ≤ n < 2^w ; zéro exige par convention un bit si l'on veut l'écrire. Une somme peut demander un bit de plus : sur 8 bits, 250 + 10 vaut mathématiquement 260 mais le motif stocké représente 4 si l'on ne conserve que les huit bits faibles.

Python agrandit automatiquement ses entiers, ce qui est utile mais cache le comportement d'une largeur matérielle. Le laboratoire renvoie donc séparément la valeur stockée et un booléen de dépassement. Cette séparation évite de présenter 4 comme résultat mathématique de 250 + 10 : 4 est le résultat d'une opération définie modulo 256, et l'overflow est une information nécessaire à l'interprétation.

Pour une somme de deux entiers naturels sur au plus w bits, w + 1 bits suffisent. Pour un produit d'entiers écrits sur p et q bits, p + q bits suffisent, car le produit est strictement inférieur à 2^(p+q). Ce sont des garanties, pas toujours des minimums : calcule la valeur puis compare-la aux puissances de 2 si tu cherches la largeur minimale. Les tailles 8, 16, 32 et 64 bits sont courantes ; leur domaine dépend aussi de la convention signée ou non signée.

Sur w bits en complément à 2, les valeurs vont de -2^(w-1) à 2^(w-1)-1. Un entier positif ou nul garde son écriture habituelle. Un entier négatif n est encodé par n modulo 2^w ; ainsi -1 devient le motif maximal. Pour décoder, un motif inférieur à 2^(w-1) reste positif ou nul, tandis qu'un motif supérieur ou égal à ce seuil reçoit la valeur motif - 2^w.

Le bit de poids fort ne doit pas être retiré puis lu isolément comme un signe. Il contribue avec le poids -2^(w-1), ce qui explique l'asymétrie de l'intervalle et l'unicité de zéro. Le contrat vérifie la largeur et refuse toute valeur hors domaine au lieu de tronquer silencieusement. Les tests couvrent zéro, les deux extrémités, -1 et l'aller-retour de tout l'intervalle sur 8 bits.

Un flottant stocke un nombre fini de chiffres binaires avec une échelle. Certaines fractions, comme 1/2 ou 1/4, ont une écriture binaire finie ; 1/10 se répète indéfiniment et doit être arrondi. L'affichage décimal masque souvent l'approximation, mais les opérations la propagent. La question à contrôler est donc la précision nécessaire au résultat, et non le seul nombre de chiffres affichés.

Une comparaison robuste fixe une tolérance cohérente avec la grandeur mesurée. Une tolérance absolue protège le voisinage de zéro ; une tolérance relative s'adapte à l'échelle. Elle ne sert pas à déclarer égaux n'importe quels résultats : le domaine doit justifier l'erreur acceptable. Pour de l'argent, compter une unité entière comme le centime ou employer un type décimal peut être préférable à une tolérance improvisée.

Après la virgule binaire, les poids sont 1/2, 1/4, 1/8, 1/16… Pour convertir une fraction entre 0 et 1, multiplie le reste par 2, écris sa partie entière (0 ou 1), puis recommence avec sa partie fractionnaire. Un reste nul termine l'écriture ; un reste déjà rencontré annonce une répétition. Il faut donc distinguer une écriture mathématique infinie et son stockage fini.

Un booléen vaut vrai (True) ou faux (False). not a inverse la valeur de a. a and b est vrai seulement si les deux propositions sont vraies ; a or b est vrai dès qu'au moins l'une est vraie, y compris lorsque les deux le sont. Avec deux variables, énumère (faux, faux), (faux, vrai), (vrai, faux), (vrai, vrai) : aucune ligne ne doit manquer.

Une expression booléenne associe des propositions par and, or et not. Sa table de vérité énumère toutes les valuations possibles et permet de vérifier équivalence ou contradiction. Par exemple, not (a and b) et (not a) or (not b) ont la même colonne de résultats. Cette preuve exhaustive fonctionne parce que deux variables ne donnent que quatre lignes.

Dans un programme, and et or sont évalués de gauche à droite et peuvent s'arrêter tôt. Dans liste != [] and liste[0] > 0, la seconde partie n'est pas calculée lorsque la liste est vide. Inverser les termes provoque une erreur. La logique du résultat et la sécurité de l'évaluation sont donc deux propriétés à examiner séparément, notamment pour des gardes d'accès ou des données facultatives.

Le ou exclusif, ou XOR, est vrai lorsque les deux booléens sont différents. Pour de vrais booléens Python, a != b exprime cette opération. Il relie logique et calcul : pour additionner deux bits sans retenue entrante, XOR donne le bit de somme et AND donne la retenue. Attention : ^ n'est pas une puissance en Python ; sur les entiers, il agit bit par bit. Les opérateurs and et or peuvent renvoyer un opérande non booléen : les tables ci-dessous portent bien sur des propositions booléennes.

Unicode attribue un point de code à des caractères abstraits ; un encodage transforme une suite de points de code en octets. ASCII ne représente qu'un répertoire limité et ses codes 0 à 127 sont compatibles avec UTF-8. ISO-8859-1 encode certains caractères européens sur un octet, mais ne couvre ni toutes les écritures ni les emoji. UTF-8 emploie un à quatre octets par point de code et préserve les octets ASCII.

La chaîne Python é a une longueur d'un point de code et occupe deux octets en UTF-8. Une apparence identique peut aussi être composée de e puis d'un accent combinant, soit deux points de code. Un programme doit donc annoncer ce qu'il mesure. Le cycle encoder puis décoder avec le même encodage doit restituer la chaîne ; changer d'encodage ou ignorer une erreur peut altérer les données et parfois leur sens.